数学教学系列9:B-S期权定价模型

期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证报酬。在均衡时,此报酬得到无风险利率。

假设条件:

1、股价遵循几何布朗分布

2、股票交易连续进行

3、不存在交易费用及税收

4、允许卖空,且可利用所有卖空所得

5、再衍生品有效期间,股票不支付股利

6、在衍生品有效期间,无风险利率保持不变

7、所有无风险套利机会均被消除

影响欧式看涨期权价格的因素:

1、当股价越高,期权价格越高

2、到期执行价格越高,期权价格越低

3、距离到期日时间越长,期权价格越高

4、股价波动率越大,期权价格越高

5、无风险利率越高,期权价格越高

B-S定价公式


Black和Scholes(1973)成功地得到了对欧式看涨期权与看跌期权价格的精确公式.下面我们利用**风险中性定价**来推导这些公式.B-S定价公式如下:
![](https://www.zhihu.com/equation?tex=C%3De%5E%7B-%5Cdelta+t%7DS%5Ctimes+N%28d_%7B1%7D%29-e%5E%7Br+t%7DK%5Ctimes+N%28d_%7B2%7D%29)

1  风险中性世界


将漂移参数$\mu$从B-S微分方程中去掉、在金融中这意味着此方程是与风险偏好独立的.换句话说,风险偏好不能影响这个方程的解.此性质的一个完美结果就是能够假设投资者是风险中性的.在一个风险中性世界里,我们有如下结论:

  • 所有证券的期望收益率都是无风险利率$r$;
  • 任何现金流的当前价值可以通过将它的期望价值以无风险利率折现得到.

2  公式


在风险中性世界里,一个欧式看涨期权在到期日的期望价值为

$$E_*[max(P_T-K,0)],$$

其中$E_*$表示在无风险世界中的期望价值.看涨期权在$t$时刻的价格为

$$c_t=exp[-r(T-t)]E_*[max(P_T-K,0)]$$

然而,在风险中性世界里,我们有$\mu=r$,In($P_T$)是正态分布的:

$$In(P_T)\sim N[ln(P_t)+(r-\frac{\sigma^2}{2})(T-t),\sigma^2(T-t))].$$

令$g(P_T)$表示$P_T$的概率密度函数,则方程中看涨期权的价格为

$$c_t=exp[-r(T-t)]\int^{\infty}_{K}(P_T-K)g(P_T)dP_T.$$

通过积分的变量变换以及一些代数计算(附录A中给出详细推导),我们有

$$c_t=P_t\Phi(h_+)-Kexp[-r(T-t)\Phi(h_-)]$$

其中$\Phi(x)$是标准正态随机变量的积累分布函数在$x$点的值,

$$h_+=\frac{ln(P_t/K)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}},\\
h_-=\frac{ln(P_t/K)+(r-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}=h_+-\sigma\sqrt{T-t}.$$

实际中,$\Phi(x)$可以很容易地通过大多数统计软件包得到.另外一种可供选择的方法,可以运用附录B中给出的一个近似.
方程中的B-S看涨期权公式有一些好的解释.首先,如果在到期日执行期权,得到了股票,但我们必须要支付敲定价格.这个交换只有当期权是赚钱的(即$P_T>K$)时才会发生.当且仅当$P_T>K$时,第一项$P_t\Phi(h_+)$)是得到股票的当前价值;当且仅当$P_T>K$时,第二项$-Kexp[-r(T-t)\Phi(h_-)]$是支付执行价格的当前价值.第二个解释尤其有用.B-S微分方程的推导中显示的,$\Phi(h_+)=\frac{\partial G_t}{\partial P_t}$是资产组合中不涉及不确定性和维纳过程的股份的数量.这个量就是套期保值交易中众所周知的$\Delta$.我们知道$c_t=P_t\Phi(h_+)+B_t$,其中$B_t$为投资于资产组合(或衍生资产空头头寸)中的无风险债券的美元总量.可见从对B-S公式的检查中可直接看出$B_t=-Kexp[-r(T-t)]\Phi(h_-)$.公式的第一项$P_t\Phi(h_+)$为投资在股票上的总量,而第二项$Kexp[-r(T-t)]\Phi(h_-)$是借入的总量.
类似地,我们得到一个欧式看跌期权的价格为
$$p_t=Kexp[-r(T-t)]\Phi(-h_-)-P_t\Phi(-h_+)$$
因为标准正态分布是关于它的均值0.0对称的,所以我们有:对任何$x,\Phi(x)=1-\Phi(-x)$.利用这个性质,我们有$\Phi(-h_i)=1-\Phi(h_i)$.这样,计算一个看跌期权价格需要的信息与计算看涨期权价格所需要的信息是相同的.另外一个方法,利用正态分布的对称性,很容易证明
$$p_t-c_t=Kexp[-r(T-t)]-P_t$$
称为涨一跌平价公式,而且可用来从$c_t$中得到$p_t$.涨一跌平价公式也可以通过考虑下面两个组合来得到:

(1)组合A:一个欧式看涨期权加$Kexp[-r(T-t)]$的现金.

(2)组合B:一个欧式看跌期权加一股标的股票.

到期权的到期日这两个组合的盈利为
$$max(P_T,K)$$
由于期权在到期日才能执行,组合必须与现价具有相等的价值.这意味着
$$c_t+Kexp[-r(T-t)]=p_t+P_t,$$
这正是前面所给出的涨一跌平价公式.

  假设Intel股票的当前价格是每股80美元,年波动率为$\sigma=20%$,进一步假设年无风险利率为8%,那么执行价格为90美元,而且在3个月内到期的Intel的一个欧式看涨期权的价格是多少?
由假设,我们有$P_t=80,K=90,T-t=0.25,\sigma=0.2,且r=0.08$.
因此
$$h_+=\frac{ln(80/90)+(0.08+0.04/2)\times0.25}{0.2\sqrt{0.25}}=-0.927\ 8,\\\
h_-=h_+-0.2\sqrt{0.25}=-1.027\ 8.$$
利用python,我们有

$$\Phi(一0.927\ 8)=0.1767,\Phi(一1.027\ 8)=0.152\ 0,$$

因此,一个欧式看涨期权的价格为

$$c_t=$80\Phi(-0,927\ 8)一$90\Phi(-1.027\ 8)exp(—0.02)=$0.73,$$

对看涨期权的买者而言,只有股价升高10.73美元时,才能达到得失平衡.

在相同的假设下,一个欧式看跌期权的价格为

$$p_t=$90exp(-0.08×0.25)\Phi(1.027\ 8)-$80\Phi(0,927\ 8)=$8.95.$$

这样,对于看跌期权的买者而言,股价可以升高额外的1.05美元而达到得失平衡.

前面例子中的敲定价格大大超出了当前股价.一个更现实的敲定价格是81美元.假设前面例子中其他的条件仍然成立,现在我们有$P_t=80,K=81,r=0.08,T-t=0.25$,且$h_i$变为
$$h_+=\frac{In(80/81)+(0.08十0.04/2)×0.25}{0.2\sqrt{0.25}}=0.125\ 775,\\
h_-=h_+-0.2\sqrt{0.25}=0.025\ 775.$$
利用附录B中的近似,我们有$\Phi(0.125\ 775)=0.550\ 0$和$\Phi(0.025\ 775)=0.510\ 3$,则一个欧式看涨期权的价格是
$$c_t=$80\Phi(0.125\ 775)一$81 exp(-0.02)\Phi(0.025\ 775)=$3.49.$$
对于看涨期权的买者而言,股价必须提高4.49美元,才得失相等.从另一方面来讲,在同样假定下的一个欧式看跌期权的价格为
$$p_t=$81exp(-0.02)\Phi(-0.025\ 775)-$80\Phi(一0.125\ 775)\\
=81exp(-0.02)×0.489\ 72-$80×0.449\ 96=$2.89.$$
对看跌期权的买者而言,股票价格必须降低1.89美元,才得失平衡.

3  欧式期权的下界


考虑没有支付分红的股票的看涨期权,可以证明欧式看涨期权的价格满足
$$c_t\geq P_t-K exp[-r(T-t)];$$
也就是说欧式看涨期权的下界是$P_t-Kexp[-r(T-t)]$.考虑如下两个组合可以验证该结果:

(1)组合A:一个欧式看涨期权加$K\exp[-r(T-t)]$的现金.

(2)组合B:一股标的股票.

对于组合A,如果将现金以无风险利率进行投资,则在$T$时刻的现金数量为$K$.如果$P_T>K$,则$T$时刻执行期权,组合的价值为$P_T$.如果$P_T<K$,则不执行期权,组合的价值为$K$.因此组合的价值是
$$\max(P_T,K).$$
组合B的价值在$T$时刻是$P_T$,因此组合A的价值要比组合B的价值大,或至少相同.从而今天组合A的价值也要比组合B的价值要大,即$$
c_t+K \exp[—r(T一t)]\ \ \ \ 或 \ \ \ \ c_t\geq Pt一K \exp[—r(T-t)].
$$
进一步,由于$c_t\geq0$,我们有$$
c_t=\max\{P_t一K \exp[-r(T-t)],0\}.$$
用类似的方法可以证明,相应的欧式看跌期权满足
$$p_t=\max\{K \exp[-r(T-t)]-P_t,0\}.$$

  假定$P_t=\$30,K=\$28,$年利率为$r=6%$, $T-t=0.5.$在这种情形下,
$$P_t-K \exp[-r(T-t)]=\$[30-28\exp(-0.06×0.5)]\approx\$2.83.$$
假定股票的欧式看涨价格为$\$2.50$,这比理论最小值$\$2.83$要小,套利者可以买该看涨期权并卖空股票,这样便产生了一个新的现金流\$(30-2.50)=\$27.50.如果以无风险利率投资6个月,则\$27.50变为$\$27.50\exp(0.06×0.5)=\$28.34$.在到期日,如果$P_T>\$28$,则套期保值者执行期权,并平了空头头寸,他获利$\$(28.34-28)=\$0.34$.另一方面,如果$P_T<\$28$,套利者可以从市场直接买股票平仓,他甚至可以获得更多的利益.作为说明,假定$P_T=\$27.00$,则获利将是$\$(28.34一27)=\$1.34$.

4  讨论


由公式知,一个看涨或看跌期权的价格依赖于$5$个变量,即当前的股价$P_t$、敲定价格$K$、以年度量的到期日$T-t$、年波动率$\sigma$。以及年利率$r$.值得研究的是这$5$个变量对期权价格的影响.

1.边际效应.

首先考虑这$5$个变量对一个看涨期权价格$c_t$的边际效应.边际效应的意思是在固定其他变量的情况下改变其中一个变量.一个看涨期权的效应可以概括如下.

(1)当前价格$P_T$与$In(P_t)$正相关,特别地,当$P_t\to0$时,$c_t\to0$;当$P_t\to\infty$时,$c_t\to\infty$.6-3a解释了$K=80$,年利率$r=6%$;,一老=0.25$T-t=0.25$年以及年波动率$\sigma=30\%$时的效应.

(2)执行价格$K$ $c_t$与$In(K)$负相关.具体来讲,当$K\to0$时,$c_t\to P_t$当$K\to\infty$时,$c_t\to0$.

$$图6-3 当前股价对期权价格的边际效应,其中K=80,T-t=0.25,\sigma=0.3,\\r=0.06;(a)看涨期权;(b)看跌期权$$

(3)到期时间 $c_t$与$T-t$的相关性非常复杂,但是通过将$h_+$和$h_-$写成
$$h_+=\frac{ln(P_t/K)}{\sigma\sqrt{T-t}}+\frac{(r+\sigma^2/2)\sqrt{T-t}}{\sigma},\\
h_-=\frac{ln(P_t/K)}{\sigma\sqrt{T-t}}+\frac{(r-\sigma^2/2)\sqrt{T-t}}{\sigma}.$$

可得到极限结果.若$P_t<K$,则当$(T-t)\to0$时$c_t\to0$.若$P_t>K$,则当$(T-t)\to0$时$c_t\to P_t-K$,且当$(T-t)\to\infty$时$c_t\to P_t$、图$6-4a$显示的是对三种不同的当前股价来说,$T-t$对$c_t$的边际效应.固定的变量是$K=80,r=0.06和\sigma=0.3$.实线、点划线以及虚线分别对应于$P_t=70,80,90$.

$(4)波动率$\sigma$通过将$h+和h-$改写成$$
h_+=\frac{ln(P_t/K)+r(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}+\frac{\sigma}{2}\sqrt{T-t},\\
h_-=\frac{ln(P_t/K)+r(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}-\frac{\sigma}{2}\sqrt{T-t}.
$$
我们得到(a)如果$In(P_t/K)+r(T-t)<0$,则当$\sigma\to0$时,$c_t\to0$;(b)如果$In(P_t/K)+r(T一t)\geq0$,则当$\sigma\to0$时,$c_t\to P_t-Ke^{-r(T-t)}$;当$\sigma\to \infty$时,

$c_t\to P_t$.图6-5a表明$K=80,T-t=0.25,r=0.06.$以及$P_t$取3个不同值时$\sigma$对

$c_t$的效应.实线、点划线以及虚线分别对应于$P_t=70,80,90$.

(5)利率ct与r是正相关的,满足:当$r\to\infty$时,$c_t\to P$

这5个变量对一个看跌期权的边际效应可类似得到图6-3b、图6-4b和图6-5b对所选择的一些情况解释了其效应.

2.一些联合效应

波动率与敲定价格对一个看涨期权的联合效应,这里其他变量是固定的,$P_t=80,r=6\%,{T-t}=0.25$.正如所预料的,当波动率很高而且敲定价格正好低于当前股价时,看涨期权的价格更高,图6-7显示同样条件下,对一个看跌期权的效应.当波动率很高而且敲定价格正好高于当前的股价时,看跌期权的价格更高、而且,图形也说明了随着波动率的增加,敲定价格对看跌期权价格的效应将变得更加线性化.

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机器学习系列目录

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2. 机器学习系列2:算法基础-K-Means
3. 机器学习系列3:算法基础-决策树
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5. 机器学习系列5:进阶算法-随机森林
6. 数学教学系列6:ARMA模型
7. 数学教学系列7:拉格朗日对偶问题
8. 数学教学系列8:梯度下降法
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